Традиция отмечать Старый Новый год идет от расхождения Юлианского календаря («старого стиля») и Григорианского календаря — того, по которому сейчас живет практически весь мир. Расхождение календарей в 20-21 веках составляет 13 дней.

Старый Новый год — это редкий исторический феномен, дополнительный праздник, который получился в результате смены летоисчисления. Из-за данного расхождения календарей мы отмечаем два «Новых года» — по старому и новому стилю. Таким образом, в ночь с 13 на 14 января каждый может позволить себе «допраздновать» самый любимый праздник. Ведь для многих верующих людей Старый Новый год имеет особое значение, поскольку от души отпраздновать его они могут лишь после окончания Рождественского поста.
Сегодня из года в год популярность Старого Нового года растет. Все больше людей относятся к нему, как к самостоятельному празднику, который продлевает очарование Нового года или же позволяет почувствовать это очарование впервые… Ведь этот праздник более спокойный, ему несвойственна суета, которая является неизбежным спутником Нового года.
Интересно, что разница между Юлианским и Григорианским календарями увеличивается каждое столетие, когда число сотен в году от Рождества Христова не является кратным четырем, на один день. Поэтому с 1 марта 2100 года эта разница составит 14 дней. А с 2101 года Рождество и Старый Новый год будут отмечаться на день позже.
(расхождение Юлианского календаря с  астрономическим годом в один день накапливается за 128 лет,  Григорианского – за 3 тысячи 333 года, а "Новоюлианского" – за 40 тысяч  лет).

Справка:

Юлианский календарь ("старый стиль") - календарь, принятый в Европе и России до перехода на григорианский календарь. Введен в Римской республике Юлием Цезарем с 1 января 45 года до н.э., или 708 г. от основания Рима.
Цезарь предпринял реформу по совету александрийского астронома Созигена.
Поскольку в году не ровно 365 суток, а несколько более, замысел состоял в учреждении високосного года: продолжительность каждого четвертого года устанавливалась в 366 дней. Цезарь пошел на установление года в 365 дней, начинающегося 1 января, для ограничения власти понтифика - верховного жреца, который устанавливал продолжительность года произвольно, удлиняя и укорачивая разные годы в личных целях.
Созиген оценивал продолжительность года, т.е. время между 2 днями весеннего равноденствия, в 365,25 суток. В реальности это число составляет 365,2422. Ошибка юлианского календаря в 11 мин 14 сек в год к XVI веку привела к тому, что весеннее равноденствие приходилось не на 21 марта, а на 11-е. Смещение приводило к соответствию тех же дней года другим природным явлениям. Это пагубно сказывалось на планировании сельскохозяйственных работ, установлении дат ярмарок и т.д. Результатом явился переход на григорианский календарь ("новый стиль"), в статье о котором см. таблицу перевода дат по "старому стилю" в "новый". С каждым годом расхождение между датами возрастает.
На сохранении юлианского календаря настаивает православная церковь, исчисляющая даты праздников по "старому стилю".

http://pobedaschool.ucoz.ru/publ/pochemu_katoliki_prazdnujut_roz