Моделирование методом Монте-Карло пришло к нам из в 1930—1940 гг., когда физики на компьютере моделировали ситуации для оценки вероятности того, что цепная реакция, необходимая для атомной бомбы, пройдет успешно. Учёные, участвовавшие в этой работе, были страстными поклонниками азартных игр, они и дали операциям моделирования такое название. Метод статистического моделирования Монте-Карло назван так в честь столицы княжества Монако, известной своими многочисленными казино, основанные на законах распределения случайных величин.

Рассмотрим произвольный квадрат с центром в начале координат и вписанный в него круг. Будем рассматривать только первую координатную четверть.

Будем случайным образом выбирать точки в этом квадрате и считать количество точек, попавших в четверть круга. Благодаря теории вероятности мы знаем, что отношение попаданий в круг к числу всех точек равно отношению площадей. Вот, собственно, и весь алгоритм... Чем больше взятых наугад точек мы проверим, тем точнее будет отношение площадей. Ограничиваем количество выбранных точек производительностью компьютера.

program METOD_MONTEKARLO;
uses crt;
var r,x,y,m,n,i:integer;
s:real;
       begin
       randomize;
       writeln ('введите радиус R');
       readln (r);
       m:=0;
       n:=100000;
       for i:=1 to n   do
       begin
         x:=random(2*r+1)-r;
         y:=random(2*r+1)-r;
         if x*x+y*y<=r*r then m:=m+1
        

       end;
       writeln('всего точек попавших в круг -  ',m);

       s:=4*r*r*m/n;
       writeln('аналитически -   ',s:0:3);
       writeln ('вычисленная -   ',pi*r*r:0:3);
       end.

Пример 2.

Найти площадь пересечения трех окружностей с заданными радиусами и координатами центров окружностей.

Аналитические выкладки для определения площади пересечения невозможен. Метод Монте-Карло позволяет приближенно вычислить площадь, даже в том случае, когда имеется лишь возможностью определить, принадлежит ли точка данной области.

Составим модель. Опишем квадрат около первой, для определённости, окружности. Будем случайным образом кидать точки в этот квадрат. При достаточно большом их количестве они равномерно распределятся по площади квадрата. Часть из них попадет в область пересечения трех окружностей. Как и в предыдущей задаче отношение m/n равен отношению искомой площади к площади описанного квадрата.

uses crt;
label

  NotInCircle;

var

  i, n, m: LongInt;

  j: Integer;

  x, y, r, rr: array[1..3] of Real;

  xp, yp, xkv, ykv, d: Real;

begin

  for j:=1 to 3 do

  begin
    writeln('Введите координаты центра и радиус ', j, '-й окружности (x, y и r)' );

    Write();

    ReadLn(x[j], y[j], r[j]);

    rr[j]:=Sqr(r[j]);   // квадраты радиусов

  end;

  Writeln('Введите число брошенных точек в квадрат '); ReadLn(n);

  xkv:=x[1]- r[1];      //квадрат около окружности

  ykv:=y[1]- r[1];

  d:=r[1]*2;

  m:=0;

  Randomize;

  for i:=1 to n do      // цикле по числу бросаний

  begin

    xp:=Random*d+xkv;

    yp:=Random*d+ykv;  // случайные точки (х,у) брошенные в квадрат описываемый первую окружность

    for j:=1 to 3 do
      if Sqr(xp-x[j])+Sqr(yp-y[j]) > rr[j] then goto NotInCircle;  //проверяем, попадает ли точка в каждый круг

    Inc(m);             // подсчёт количества точек, попавших сразу во все три круга

    NotInCircle:

  end;
   writeln('количество точек, попавших сразу во все три круга ',m );
  WriteLn('S = ', Sqr(d)*m/n:0:3);  {результат, тем точнее, чем больше историй}

end.